2.4 Extrema of Function with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.1 Elimination/Direct Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.2 Lagrange Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5 Extrema of Functional with Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.1 Extrema of Functional with Di erential
Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5.2 Extrema of Functional with Isoperimetric
Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Chapter 3 Optimal Control via Variational Method . . . . . . . . . 96
3.1 Necessary and Su cient Condition for Optimal Control . . . . . 96
3.2 Optimal Control Problems with Di erent
Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.1 Optimal Control with Fixed Final Time and
State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.2 Optimal Control with Fixed Final Time and
Free Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2.3 Optimal Control with Free Final Time and
Fixed Final State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.4 Optimal Control with Free Final Time and State . . . 112
3.3 Linear Quadratic Regulator Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.1 In nite-interval Time-invariant LQR Problems . . . . . 130
3.4 Linear Quadratic Tracking Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Chapter 4 Pontryagin's Minimum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.1 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained
Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Pontryagin's Minimum Principle with Constrained
State Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Minimum Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.1 Optimal Control Solution for Minimum
Time Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.2 Minimum Time Problems for Linear
Time-invariant Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4 Minimum Fuel Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5 Performance Cost Composed of Elapsed Time and
Consumed Fuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.6 Minimum Energy Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.7 Performance Cost Composed of Elapsed Time and
Consumed Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Chapter 5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

最优控制系统导论(英文版) 作者简介

马中静，南开大学本科、加拿大麦吉尔大学硕士和博士，美国密歇根大学安娜堡分校博士后。现为自动化学院副教授、博士生导师、电气工程研究所所长、自动化（全英文）专业责任教授。讲授《※优与鲁棒控制》、《自动控制原理》等全英文课程，主持了国家自然科学基金项目“插电式电动汽车※优充电控制策略研究”和“基于交替方向乘子法的大规模多能耦合系统优化问题研究”、科技部国际合作专项“分布式可再生能源控制及优化利用技术的联合研发”以及国家电网等多项课题。在优化、※优控制、博弈论、新能源优化利用等方面取得了丰富的科研成果，在IEEE Trans. on Automatic Control、Automatica、IEEE Trans. on Control Systems Technology等发表高水平SCI/EI论文50余篇，GoogleScholar引用1000 次。为知名SCI期刊《Nonlinear Analysis：Hybrid Systems》编委、副编辑，IEEE高级会员。

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