铺砌的顶点特征 平面铺砌中与铺砌顶点关联的铺砌元(正多边形)的边数与邻接顺序构成该铺砌顶点的顶点特征。若与某个顶点关联的r个正多边形的边数依顺时针方向为n1；n2； ；nr，则该顶点的顶点特征用有序正整数数组(n1；n2； ；nr)表示。例如图1.2中显示的三个铺砌其顶点特征依次是(3；3；3；3；3；3)；(4；4；4；4)；(6；6；6)，可依次简记为(36)；(44)；(63)；图1.3中的铺砌其顶点特征则是(4；8；8)，可简记为(4；82)。
　　阿基米德铺砌 满足下列条件的铺砌称为阿基米德铺砌，又称齐次铺砌(homogeneous tiling)：铺砌元均为正多边形；铺砌是边对边铺砌；铺砌各顶点的顶点特征相同，与每个铺砌顶点关联的正多边形内角和均为360°。
　　图1.4
　　360°条件 对阿基米德铺砌而言，其各顶点的顶点特征相同，所以可用表示铺砌顶点特征的有序数组来表示该铺砌。平面铺砌中各个铺砌元即正多边形彼此无交叠，无间隙，对每个铺砌顶点而言，与其关联的各多边形对该顶点贡献的内角和是360°。设有序正整数数组(n1；n2； ；nr)表示一个阿基米德铺砌的顶点特征，则该数组必满足下述条件：
　　为叙述简便，称之为360°条件。但满足360°条件的有序数组未必是一个铺砌的顶点特征，例如有序数组(3；7；42)显然满足360°条件，但不是铺砌的顶点特征，后面我们会详细论述这个问题。
　　1.2 阿基米德铺砌的顶点特征
　　引理1.1 由正多边形构成的边对边铺砌若各顶点的顶点特征相同，则与每个铺砌顶点相关联的正多边形的个数只能是3；4；5；6。这就是说，阿基米德铺砌的顶点特征只能是r元有序数组，其中r=3；4；5；6。
　　证明 设与每个铺砌顶点相关联的r个正多边形分别是正n1-边形，正n2-边形， ，正nr-边形。按铺砌的定义，r≥3；ni≥3(i=1；2； ；r)，在每个铺砌顶点r个关联正多边形内角之和为2，从而
　　于是3≤r≤6。又因为r为正整数，所以有……

组合几何趣谈 作者简介

丁仁，1939年生于湖南岳阳，籍贯浙江永康，1962年毕业于复旦大学数学系。2009年退休前任教于河北师范大学，任教授、博士生导师。长期从事组合几何学的教育与研究工作，1985年至2015年多次出国前往下列大学从事交流合作、讲学或任课：美国西华盛顿大学、华盛顿大学、加州大学洛杉矶分校，缅因大学、奥本大学，德克萨斯州立大学；德国多特蒙德大学、鲁尔波鸿大学；瑞士洛桑联邦理工大学（EPFL）与日本熊本大学。与同行合作内科学出版社出版《组合几何》等译著3部，1986年以来在国际学术刊物发表组合几何学术论文六十余篇。先后培养组合几何方向博士生5人，硕士生29人（含同等学力硕士生7人）。自1991年起由国务院发给政府特殊津贴，1993年被评为全国教育系统劳动模范，自1995年起被批准为河北省省管优秀专家。

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