实变函数论 本书特色

本书首先介绍了集合论和拓扑学的基础知识，然后结合微积分的发展简史与不完善之 处，从分析学的角度系统地介绍了实变函数的基本理论框架. 全书所列内容均由作者多年讲 义结合国际上*的《实分析》教材内容整理而成，辅以数学史的注解，对初学者真正学懂 这门专业课十分有益.

实变函数论 内容简介

本书采用国际上*的体系讲述勒贝格积分*基本的内容，主要介绍一维的勒贝格积分理论。对学习实变函数论所需集合论和拓扑学知识用*小的篇幅作了系统讲述。尤其对建立勒贝格积分所需的集合论知识用很小的篇幅作了系统而深入的介绍。对学习实变函数论所需拓扑学知识采用现代拓扑学的观点讲述。本书尽量采用拓扑学的方式讲述，使读者能够了解实变函数论中结果成立的拓扑背景，也便于读者继续深入一般测度论的学习。本书还对实变函数论中主要概念和结论的历史背景知识作了适当介绍。

实变函数论 目录

目录
第 1章集合 ................................... 1
1.1集合 ................................. 1
1.1.1集合的概念 ............. 1
1.1.2集合运算 ................ 2
1.2基数的概念 ....................... 8
1.3可数集和不可数集 ............13
习题 1......................................20
第 2章 n维欧氏空间上的拓扑 .......23
2.1 n维欧氏空间上的拓扑概念 .....................................................23
2.1.1开集,内部,拓扑 .....23
2.1.2闭集,闭包,导集 .....27
2.2子空间,乘积空间,紧集和连续映射 ..........................................31
2.2.1子空间 ...................31
2.2.2乘积空间 ...............32
2.2.3紧集 ......................33
2.2.4连续映射 ...............35
2.3开集的结构, Cantor三分集, Borel集 ......................................40
2.3.1开集的结构 ............40
2.3.2 Cantor三分集 .......43
2.3.3 Borel集 ................45
习题 2......................................50
第 3章测度论 ...............................53
3.1外测度 .............................54
3.2可测集 .............................57
3.3可测集类 .........................61
3.3.1可测集的进一步性质 .....................................................61
3.3.2一个不可测集的例子 .....................................................63
3.3.3集合可测性的等价定义 .................................................64
3.3.4 L作为 B的完备化简介 ..............................................66
习题 3......................................69
第 4章可测函数............................72
4.1可测函数的定义和基本性质 .....................................................72
4.1.1广义实数集 ............72
4.1.2可测函数 ...............75
4.1.3几乎处处的概念 .....79
4.2简单函数 .........................80
4.3可测函数的极限性质和构造 .....................................................83
4.3.1几乎处处收敛与近一致收敛 ...........................................84
4.3.2依测度收敛和几乎处处收敛 ...........................................86
4.3.3可测函数的构造 .....89习题 4......................................91
第 5章 Lebesgue积分..................94
5.1 Lebesgue积分的引入:简单函数的积分 ....................................94
5.2测度有限集合上有界可测函数的积分 .......................................98
5.3 Lebesgue积分和 Riemann积分的关系 ................................... 103
5.4非负可测函数的积分 ....... 106
5.5一般可测函数的积分 ....... 111
5.6乘积测度与 Fubini定理 .. 118
5.6.1二维乘积测度空间 ...................................................... 118
5.6.2 Fubini定理 ..........121
5.6.3乘积集合的可测性 ...................................................... 127
习题 5.................................... 129
第 6章微分 ................................ 134
6.1积分的微分 .................... 134
6.1.1 Hardy-Littlewood极大函数 ........................................ 135
6.1.2 Lebesgue微分定理 ..................................................... 138
6.2函数的微分 .................... 141
6.2.1有界变差函数 ....... 141
6.2.2绝对连续函数 ....... 151

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