偏微分方程-19 目录

**章 绪论1 常用符号2 基本概念3 一些例子4 纵览第二章 一阶方程1 一个简单线性方程1.1 解析求解：特征线方法1.2 近似求解：有限差分方法2 一类简单拟线性方程2.1 Burgers方程2.2 一般情形2.3 导数的突变和破裂时间3 拟线性方程的几何理论4 拟线性方程的Cauchy问题4.1 Cauchy问题4.2 局部解的存在性4.3 解的存在唯一性条件4.4 一种特殊情况：线性偏微分方程4.5 高维情形4.6 例子5 一阶偏微分方程组5.1 一阶线性偏微分方程组5.2 一阶拟线性偏微分方程组6 总结与思考第三章 具有两个自变量的二阶偏微分方程1 拟线性二阶方程的特征2 奇性的传播3 二阶线性方程的标准形4 一维波动方程5 总结与思考第四章 波动方程1 一维波动方程：方程的导出及定解条件1.1 方程的导出2.1 定解条件2 一维波动方程：Cauchy问题2.1 叠加原理2.2 齐次化原理3 一维波动方程：初边值问题3.1 分离变量法3.2 非齐次方程3.3 非齐次边界条件4 高维波动方程的Cauchy问题4.1 高维空间中的波动方程4.2 定解条件4.3 球平均法4.4 Hadamard降维法4.5 非齐次波动方程Cauchy问题的解5 波的传播5.1 基本概念5.2 波的传播：Huygens原理与波的弥散现象5.3 解的衰减5.4 解的正则性6 一般的Cauchy问题与初边值问题6.1 一般的Cauchy问题6.2 初边值问题7 能量不等式7.1 动能和位能7.2 初边值问题解的唯一性与稳定性7.3 Cauchy问题解的唯～性与稳定性8 总结与思考第五章 热传导方程1 热传导方程的导出及其定解条件1.1 方程的导出1.2 定解条件2 Cauchy问题2.1 Fourier变换2.2 Cauchy问题的求解——Fourier变换法2.3 解的存在性3 初边值问题4 极值原理4.1 极值原理4.2 初边值问题4.3 Cauchy问题5 Li-Yau估计与Harnack不等式6 渐近性态6.1 初边值问题6.2 Cauchy问题7 总结与思考第六章 Laplace方程1 方程的导出及定解条件的提法1.1 方程的导出1.2 定解条件2 变分法2.1 变分问题与Euler-Lagrange方程2.2 变分原理2.3 变分问题与定解问题的求解3 调和函数3.1 Green公式3.2 基本积分公式3.3 基本性质3.4 极值原理3.5 Laplace方程的**边值问题解的唯一性和稳定性4 Green函数4.1 引进Green函数的动机及其基本性质4.2 镜像法4.3 解的验证5 调和函数(续)6 强极值原理6.1 强极值原理6.2 应用：Laplace方程第二边值问题解的唯一性7 总结与思考第七章 拟线性双曲守恒律方程组初步1 拟线性双曲守恒律方程组1.1 基本概念1.2 例子1.3 解的破裂2 间断解2.1 解的定义2.2 Rankine-Hugoniot条件2.3 熵条件2.4 Riemann问题3 非线性波：经典解情形3.1 疏散波与压缩波3.2 应用实例——追赶问题4 非线性波：间断解情形4.1 单个守恒律4.2 激波的形成与传播4.3 Riemann问题(续)5 总结与思考第八章 Cauchy-Kovalevskaya定理1 准备知识1.1 多重无穷级数1.2 实解析函数1.3 实解析函数(续)2 Cauchy-Kovalevskaya定理2.1 Cauchy-Kovalevskaya定理2.2 Cauchy-Kovalevskaya定理的证明3 一些注记附录一 Fourier反演公式附录二 Li-Yau估计参考文献

偏微分方程-19 节选

《偏微分方程》共分八章：**章为绪论；第二、三章分别介绍了一阶方程、具有两个自变量的二阶方程的基本知识；第四、五、六章分别介绍了三类基本方程：波动方程、热传导方程和Laplace方程的定解问题的适定性、求解方法及解的性质；第七章主要介绍了一阶拟线性双曲守恒律方程组的一些基本知识；第八章介绍了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有两个附录：Fourier反演公式；Li-Yau估计。《偏微分方程》不仅把注意力集中在传统的偏微分方程基础知识上，而且还有目的地介绍一些当代数学知识，譬如在几何分析中具有重要作用的Li-Yau估计和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特点是，除在每节后面为读者准备了一些习题之外，还在一些章节后面为读者准备了一些思考题和“开放问题（open problem）”。这些问题具有一定的启发性，对提高学生对本门课程的学习兴趣有很大帮助。《偏微分方程》可作为高等院校数学系学生的教材，也可供数学、力学和物理学等相关专业的工作者参考。

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