解析数论中几类重要和式及其应用 内容简介

《解析数论中几类重要和式及其应用》主要介绍解析数论中几类重要和式的性质及其理论应用。结合作者的研究成果，主要介绍Kloosterman和、广义二项指数和、特征和，以及几类类Dedekind和的和式——Cochran和、Hardy和等的均值性质。 在这些和式的一些相关问题的理论应用方面，重点介绍整数及其逆分布问题的gao维推广、Lehmer问题的gao维推广等。
　　《解析数论中几类重要和式及其应用》可供gao等院校数学专业的gao年级本科生、研究生以及教师参考使用，也可供相关领域的研究人员参考使用。

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第1章 预备知识
　　本章将主要介绍一些本书所需要的解析数论的基本概念以及相关性质[1，2].
　　1) H.older 不等式
　　命题 1.1 设 P 为正整数，则有
　　命题 1.2 设 P 为正整数，us，vs > 0，则有 Cauchy 不等式
　　2) Dirichlet 特征
　　定义 1.1 设 q 为正整数，一个不恒为零的算术函数X(n) 如果满足条件.
　　(1) 当 (n，q) > 1 时，X(n) = 0，
　　(2) 对任意的整数 n，有X(n + q) =X(n)，
　　(3) 对任意的整数 n，m，有X(mn) =X(m).(n)，
　　则称X(n) 为模 q 的 Dirichlet 特征.
　　特别地，定义具有下面性质的模 q 的主特征
　　通过上述的定义可知模 q 的 Dirichlet 特征具备如下的性质.
　　命题 1.3 存在 á(q) 个互不相同的模 q 的 Dirichlet 特征，这些特征是完全可乘的，并且以 q 为周期，即有
　　其中，m，n 为任意整数. 相反地，如果X 为完全可乘的且以 q 为周期，并且当(n，q) > 1 时，则.必为模 q 的一个 Dirichlet 特征.
　　命题 1.4 设是模 q 的 á(q) 个 Dirichlet 特征，m，n 为任意的整数，并且 (n，q) = 1，则有
　　3) 三角和恒等式
　　设 m 和 q 为固定整数，指数函数 f(n) = e2 imn=q 是以 q 为周期的算术函数.
　　命题 1.5 对于固定的整数 q > 1，令
　　则有
　　4) Gauss 和
　　定义 1.2 设 q 为正整数，. 为模 q 的 Dirichlet 特征. 对于任意的整数 n，Gauss 和定义如下.
　　当 n = 1 时，记
　　命题 1.6 设X 为模 q 的原特征，则有
　　5) Ramanujan 和
　　定义 1.3 设 n 为固定整数，定义 Ramanujan 和如下.
　　当 qjn 时，此时有 Cq(n) = á(q).
　　命题 1.7 对于任意的整数 n，有
　　第2章 几类指数和
　　指数和作为解析数论的重要研究内容之一，具有悠久的历史和丰富的内容. 指数和的研究不仅与一些著名的数论难题，如哥德巴赫猜想、华林问题、 Linnik 猜想、Sato-Tate 猜想和算术序列中的除数问题等有密切的联系，而且对编码学、密码学[3，4] 以及计算机科学理论都有很重要的应用. 因此，对指数和的探讨一直都具有深刻的意义.
　　一般地，将指数和定义为如下形式.
　　其中，X 是任意的整数集合，f(n) 是定义在集合 X 上的整值函数.
　　因为对任意的实数 z 都有 jem(z)j = 1，所以
　　通常将上式称为指数和的平凡上界. 如何得到非平凡上界则是重要的研究课题.
　　Weyl[5]，Mordell[6]，Vinogradov[7]，Weil[8]，Hua[9]，Deligne[10] 等都对指数和进行了深入的研究并得到了丰富的研究成果. 特别是 Weil[8] 得到的上界到目前为止都是zuihao的，并且在很多情况下都有很重要的应用.
　　本章将主要研究几类特殊指数和的单个上界估计、gao次均值和混合均值.
　　2.1 经典 Kloosterman 和在光滑数集上的上界估计
　　指数和中的经典 Kloosterman 和zui早出现在 1912 年 Poincar.e 的一篇论文中，当时并没有引起人们足够的重视. 直到 1926 年，Kloosterman[11] 在表整数为四项二次型 ax2 + by2 + cz2 + dt2 的表法个数时再次使用这一和式而得名，具体定义为
　　(2.1.1)
　　其中，表示对所有满足 1 6 n 6 m 且 (n，m) = 1 的整数 n 求和，n 满足同余方程
　　当 m = q 为素数且 (a，b，q) = 1 时，Kloosterman[11] 给出了如下非平凡上界估计.
　　在此基础上，Davenport[12] 将上面的估计改进为 q2=3. Estermann[13] 得到了估计
　　(2.1.2)
　　其中，d(m) 为除数函数，(a，b，m) 表示 a，b，m 的zuida公因数.
　　目前认为式 (2.1.2) 中的估计是zuihao的，因此很多学者尝试通过对 Kloosterman和加权求均值来进一步研究是否存在相消性. 例如，Kuznetsov[14] 利用固定 a，b，对模 m 求和的加权均值来研究 Linnik 猜想. 与此相对应地，Fouvry 等[15]、Niederrei-ter[16]、Shparlinski[17，18]、Khan[19]、Liu 等[20] 通过固定模 m，对系数 a，b 分别求和来研究 Kloosterman 和的加权均值，相关结果都有重要应用.
　　定义不完整的 Kloosterman 和为
　　(2.1.3)
　　其中，利用 Hua[21] 考虑不完整三角和的方法，可得
　　(2.1.4)
　　此外，除了研究 Kloosterman 和在连续数集上的均值估计，近年来很多学者还研究了 Kloosterman 和在一些特殊数集 S 上的问题. 集合 S 越复杂，Kloosterman和的上界越难控制，这使得 Kloosterman 和在特殊数集上的估计越有挑战性.
　　当集合 S 取素数集时，令
　　其中，x > 2，m，a 是整数且 m > 2，(a，m) = 1，p 是素数.
　　当 m = q 为素数时，在 1998 年，Fouvry 和 Michel[22] 得到. 对任意的 ± > 0，存在，使得时，
　　(2.1.5)
　　成立. 2005 年，Bourgain[23] 改进了 Fouvry 和 Michel[22] 的结果并得到当时，式 (2.1.5) 也成立.
　　2011 年，Fouvry 和 Shparlinski[24] 拓展了 Garaev[25] 的工作，将素数模 q 换成合数 m 并得到对任意的 " > 0，当时，有
　　(2.1.6)
　　并通过固定系数 a，对 m 求均值，从而得到
　　(2.1.7)
　　其中.
　　Baker[26] 推广了 Bourgain[23] 的结果，但是对 m 有限制，即满足条件
　　(2.1.8)
　　其中，u 是无平方因子数，v 是完全平方数. 并得到上界估计
　　(2.1.9)
　　式中，
　　显然，他将 x 的下界减小到. 同样地，Baker[26] 改进了式 (2.1.7) 的上界并得到. 当时，有
　　(2.1.10)
　　2014 年，Irving[27] 得到
　　(2.1.11)
　　其中，
　　式 (2.1.11) 的结果比式 (2.1.7) 更强.
　　对于指数和在其他特殊数集上界估计问题的研究还有很多，如 Banks [28]，Shparlinski [29] 和 Gong[30] 研究了指数和、特征和在光滑数集上的问题并得到很hao的上界估计. 本书在此背景下研究 Kloosterman 和在光滑数集以及无平方因子数集上的上界估计.
　　设 x 为正整数，P(x) 表示 x 的zuida素因子，且规定 P(1) = 1. 如果 P(x) 6 y，就称 x 为 y-光滑数，其中 y 为正整数，且.
　　本节主要研究 Kloosterman 和在光滑数集上的均值估计问题，它是 Shparlin-ski[31] 提出的公开问题 20，形式如下.
　　其中，S(x，y) 是 y-光滑数，且
　　为了探究上式是否存在更hao的估计，对和式 T(a，m) 的模 m 求均值
　　其中，m~M 表示.
　　1先给出一些引理作为定理证明的准备.
　　引理 2.1.1 设 m 为正整数且 (m，n) = 1，a 为整数，实数 Y < Z，则有
　　证明 见文献 [24].
　　下面要证明的引理与 Friedlander 和 Iwaniec[32] 的证明思路类似，不同的是将求和区间扩展到任意的区间，且区间长度不限定小于模长 m.
　　引理 2.1.2 设 m 为正整数，a 是与 m 互素的整数. 令 K，L，X，Y 为实数且X，Y > 0，则对于任意 " > 0，有
　　证明 应用 Cauchy 不等式得