组合几何趣谈 内容简介
本书介绍一系列典型而有趣的组合几何问题。全书论述力求深入浅出，周密详尽，配有大量插图，以便读者思考理解；本书既注重问题的趣味性，又不失推理严谨，体现了组合几何这门学科的特点，可谓“直觉与抽象齐飞，浅近共深奥一色”。
书中大部分命题定理均给出浅近完整的证明，有的命题还给出多种证明，以触类旁通，开阔思路。各个章节的内容具有相对独立性，读者可选择感兴趣的章节先行阅读，开篇有益，随后必有兴趣细读全书，提升对数学乃至其他相关学科的认知与爱好。
组合几何趣谈 目录
丛书序言
前言
1 平面铺砌 001
1.1 铺砌的艺术 001
1.2 阿基米德铺砌的顶点特征 006
1.3 柏拉图多面体 017
1.4 一般多边形铺砌问题 023
2 格点多边形与匹克定理 031
2.1 格点多边形 031
2.2 匹克定理 043
2.3 匹克定理的归纳法证明 045
2.4 匹克定理的加权法证明 063
2.5 原始三角形与欧拉公式 068
2.6 Farey序列与原始三角形面积 077
2.7 含有空洞的格点多边形 081
2.8 平面铺砌与格点多边形面积 084？
2.9 格点多边形与2i+7094
2.10 圆中的格点数 096
2.11 i=1的格点三角形 098
3 平面凸集 108
3.1 凸集与凸包 108
3.2 美满结局问题 110
3.3 Helly定理 119
3.4 Minkowski定理 129
4 平面点集中的距离问题 134
4.1 Erdos点集问题 138
4.1.1 Erdos七点集 139
4.1.2 Erdos六点集 144
4.1.3 Erdos四点集与Erdos五点集 146
4.2 互异距离 150
4.3 距离的出现次数 154
4.4 *大距离 159
4.5 *小距离 161
4.6 平面等腰集 164
5 平面中的点与直线 169
5.1 有趣的平面划分问题 169
5.2 直线配置问题 180
5.3 Sylvester—Gallai定理 186
5.4 对偶变换 192
5.4.1 基本概念 192
5.4.2 抛物型对偶变换 194
5.5 有限点集生成的角 200
6 黄金三角剖分 202
6.1 黄金分割与斐波那契数列 202
6.2 黄金分割的几何作图 207
6.3 黄金矩形 211
6.4 黄金三角形与三角剖分 215
7 整数边多边形 226
7.1 整数边三角形 226
7.2 T（n）的计算公式 230
7.3 T（n）的递推公式 240
7.4 整数分拆与T（n）的计算公式 242
7.5 整数边等腰三角形 246
7.6 勾股三元组与勾股三角形 248
7.6.1 勾股三元组的构造方法 251
7.6.2 勾股三元组的其他构造方法 258
7.7 勾股三角形与格点多边形 259
7.8 本原勾股三角形的生成树 261
8 三角剖分与卡特兰数 265
8.1 多边形的对角线三角剖分 265
8.2 对角线三角剖分的计数问题 268
8.3 卡特兰数 274
参考文献 286
组合几何趣谈 节选
1 平面铺砌
1.1 铺砌的艺术
铺砌的艺术，或称镶嵌的艺术，在文明史中可以说是源远流长。远古时代当人们开始建造房屋时，就想到要用石块覆盖地面或美化墙壁，要选择石块的颜色与形状，要让石块镶嵌得当，创造一个舒适美观的环境；这时在他们的心目中就有了我们今天说的“铺砌”或“镶嵌”，可以毫不夸张地说铺砌是一种艺术。荷兰画家M.C.Escher(1898-1972)，被称为20世纪画坛中独树一帜的艺术家，以其源自数学灵感的木刻、版画等作品而闻名世界。图1.1是Escher的名作《飞马图》，用一幅飞马图案形成的区域铺砌全平面，不重叠，无空隙。Escher创作了大量这样的作品，所以艺术界也称他为“铺砌艺术之王”(king of tessellation art)①。著名英国数学家Roger Penrose在铺砌理论方面有突出成就，也是一位铺砌艺术家，他与Escher在阿姆斯特丹一次数学学术会议上结识，在数学研究与艺术创作上多有合作，相得益彰，传为佳话。我们这里只讨论用正多边形铺砌平面的相关问题。有关铺砌理论的深入研究可参见文献(Grunbaum，et al.，1986)。
图1.1 Escher的名作《飞马图》
在日常生活中经常会见到单一用正三角形、正方形或正六边形瓷砖铺砌的地面，无重叠，无空隙，如图1.2所示，抽象地说，单一用正方形可以铺砌全平面，无重叠，无空隙。正三角形与正六边形也如此。另一情形是，可同时使用几种不同正多边形铺砌全平面，如图1.3所示。
图1.2
图1.3
现讨论用正多边形铺砌平面的问题。首先引入一些基本概念与术语。
铺砌元 用来铺砌全平面的多边形称为铺砌元。铺砌元铺砌全平面既无重叠也无间隙，即所谓“不重不漏”。
铺砌的顶点和边 平面铺砌中有限个多边形铺砌元如有公共部分，即如有非空交，则非空交或是孤立点，或是多边形的边。前者称为铺砌的顶点，后者称为铺砌的边。如果若干铺砌元交于同一铺砌顶点，则称这些铺砌元与该铺砌顶点相关联。
边对边铺砌 若平面铺砌的顶点和边均是铺砌元的顶点和边，反之，每个铺砌元的顶点和边也都是铺砌的顶点和边，则称这样的平面铺砌为边对边铺砌。易知在边对边铺砌中，每个铺砌元的边恰好是另一个铺砌元的边。图1.4(a)显示的是由正方形构成的边对边铺砌，图1.4(b)显示的则是由正方形构成的非边对边铺砌。
铺砌的顶点特征 平面铺砌中与铺砌顶点关联的铺砌元(正多边形)的边数与邻接顺序构成该铺砌顶点的顶点特征。若与某个顶点关联的r个正多边形的边数依顺时针方向为n1；n2； ；nr，则该顶点的顶点特征用有序正整数数组(n1；n2； ；nr)表示。例如图1.2中显示的三个铺砌其顶点特征依次是(3；3；3；3；3；3)；(4；4；4；4)；(6；6；6)，可依次简记为(36)；(44)；(63)；图1.3中的铺砌其顶点特征则是(4；8；8)，可简记为(4；82)。
阿基米德铺砌 满足下列条件的铺砌称为阿基米德铺砌，又称齐次铺砌(homogeneous tiling)：铺砌元均为正多边形；铺砌是边对边铺砌；铺砌各顶点的顶点特征相同，与每个铺砌顶点关联的正多边形内角和均为360°。
图1.4
360°条件 对阿基米德铺砌而言，其各顶点的顶点特征相同，所以可用表示铺砌顶点特征的有序数组来表示该铺砌。平面铺砌中各个铺砌元即正多边形彼此无交叠，无间隙，对每个铺砌顶点而言，与其关联的各多边形对该顶点贡献的内角和是360°。设有序正整数数组(n1；n2； ；nr)表示一个阿基米德铺砌的顶点特征，则该数组必满足下述条件：
为叙述简便，称之为360°条件。但满足360°条件的有序数组未必是一个铺砌的顶点特征，例如有序数组(3；7；42)显然满足360°条件，但不是铺砌的顶点特征，后面我们会详细论述这个问题。
1.2 阿基米德铺砌的顶点特征
引理1.1 由正多边形构成的边对边铺砌若各顶点的顶点特征相同，则与每个铺砌顶点相关联的正多边形的个数只能是3；4；5；6。这就是说，阿基米德铺砌的顶点特征只能是r元有序数组，其中r=3；4；5；6。
证明 设与每个铺砌顶点相关联的r个正多边形分别是正n1-边形，正n2-边形， ，正nr-边形。按铺砌的定义，r≥3；ni≥3(i=1；2； ；r)，在每个铺砌顶点r个关联正多边形内角之和为2，从而
于是3≤r≤6。又因为r为正整数，所以有……
组合几何趣谈 作者简介
丁仁，1939年生于湖南岳阳，籍贯浙江永康，1962年毕业于复旦大学数学系。2009年退休前任教于河北师范大学，任教授、博士生导师。长期从事组合几何学的教育与研究工作，1985年至2015年多次出国前往下列大学从事交流合作、讲学或任课：美国西华盛顿大学、华盛顿大学、加州大学洛杉矶分校，缅因大学、奥本大学，德克萨斯州立大学；德国多特蒙德大学、鲁尔波鸿大学；瑞士洛桑联邦理工大学（EPFL）与日本熊本大学。与同行合作内科学出版社出版《组合几何》等译著3部，1986年以来在国际学术刊物发表组合几何学术论文六十余篇。先后培养组合几何方向博士生5人，硕士生29人（含同等学力硕士生7人）。自1991年起由国务院发给政府特殊津贴，1993年被评为全国教育系统劳动模范，自1995年起被批准为河北省省管优秀专家。
